viernes, 24 de diciembre de 2010

#24 La Fractalización del Universo

Tal y como prometí, intentare finalizar mi trilogía de reportajes en torno a la geometría y la astronomía, dedicando el último a un tema poco conocido por la gente acostumbrada solamente a la matemática que se estudia en los cursos de secundaria. No es necesario recurrir a ecuaciones para entenderlo, ya que la idea principal bastante intuitiva, aunque oculta a los ojos si uno no pone la suficiente atención. Se trata de los fractales, asunto en el cual los matemáticos actuales han invertido su tiempo los ultimos 100 años. Un fractal es una estructura matemática, cuya principal característica es la recurrencia, esto es, podemos generar el fractal duplicando los resultados de una iteracion, tantas veces como se nos ocurra. Los fractales son realmente fáciles de fabricar. Supongamos por ejemplo, que tenemos una línea de longitud uno, ósea que medido con algún instrumento, en alguna unidad de medida, obtenemos uno. Dividamos esta línea en tres segmentos (delimitados por 0, 1/3, 2/3 y 1). Desaparezcamos el pedazo en medio. Obtenemos una raya con un hueco en el medio. Debido a que los segmentos sobrantes tienen la misma longitud del segmento que falta, no tendremos problemas en repetir el proceso que iniciamos con el segmento total original en ellos. Uno de los segmentos se subdividiria en 0, 1/9, 2/9 y 1/3; mientras que el otro en 2/3, 7/9, 8/9 y 1 (si siente más comodo seguirme haciendo sus propios cálculos, es libre de hacerlo, sino, solo fijese en la figura de abajo). A ambos segmentos se les retira el segmeto de en medio, y ahora tenemos cuatro subsegmentos de longitud 1/9. Cada uno de esos segmentos puede subdividirse tres partes de longitud 1/27, con lo cual en una nueva itineración obtendriamos 8 segmentos. Esto puede repetirse hasta el infinito, si usted lo desea, consiguiendo en cada caso subconjuntos de números que delimitaran cada segmento. El intercepto de todos estos subconjuntos (aquellos números comunes a todos los subconjuntos) es conocido con el nombre de conjunto de Cantor.



Los fractales se pueden construir con esta simplesa tan elemental, de hecho, otro ejemplo muy simple es el del Copo de nieve de Koch, generado a partir de un triangulo. Abajo podemos ver una serie de figuras que van mostrando como se genera el copo, y como queda el resultado final aplicado a una estrella de 6 picos.













Otro ejemplo es la conocida alfombra de Sierpinski, construida a base de una serie de cuadrados que se repiten itineradamente.











El punto de todos estos sencillos ejemplos es la escala; a una cierta escala la figura permanecera familiar que a otra. Como nosotros elejimos cuantas veces se efectuara la recurrencia, esta en teoria podria abarcar hasta el infinito. Asi, podriamos tener objetos que vistos a nuestra escala, y luego reducidos a escalas mínimas presenten la misma familiaridad.

Los fractales aparecen como tales en la literatura debido en gran parte al trabajo de Mandelbrot (abajo). El encontro el conjunto de Mandelbrot, generado al encontrar todos aquellos complejos (numeros reales + imaginarios) que satisfacieran que una cierta funcion (f(z)) convergiera a un número finito al sumarlo en una serie de potencias. Las propiedades del conjunto son increíbles, pero no me detendre a explicarlas, ya que con los ejemplos anteriores (más fáciles de comprender) nos basta y sobra.



Los fractales, por abstractos que nos parezcan, tienen aplicaciones reales en el mundo en que vivimos. Actualmente, los programas computarizados, sobre todo los que trabajan con imagenes, utilizan fractales para reducir la cantidad de datos que tienen que manejar. Ciertamente una imagen (pensemos en un bosque) contiene una gran cantidad de detalles, talvéz infinito número de detalles, que causarian finalmente que la imagen obtuviera una informacion monumental (ciertamente una camara no podria guardar una cantidad infinita de detalles, debido a que esta limitada por el principio de incertidumbre). Un fractal nos ayudaria mucho, debido a que guarda una gran cantidad de información (talvéz infinita) en un limitado número de operaciones, debido a que estas se repetirán constantemente. Pero, ¿qué tal si fuera en realidad la naturaleza la que se describe mediante fractales? Despues de todo, cuando observamos un bosque vemos una sucesión de arboles que se repiten, y dentro de los arboles mismos, podemos observar la apariencia familiar en el resto del árbol, por ejemplo, en una hoja.





De hecho, que tal si todo el universo fuera un enorme fractal. Es claro que no encontramos familiaridades entre las galaxias y los planetas, pero visto a gran escala (figura de arriba), el universo parece muy homogéneo, muy regular y similar, casi un fractal. ¿Que implicaria esto sobre nuestra percepción del universo? Algunos dirán que nada, pero que tal si utilizamos un poquito nuestra imaginación. Imaginese la alfombra de Sierpinski, llenando todo el espacio. ¿Qué dimensión tiene esa figura? Ó ahora usted intente medir la longitud del copo de Koch. Esto último parece muy simple, utiliza una regla para medir la distancia individual de cada uno de sus segmentos. Pero cada segmento posee subsegmentos, y estos poseen los propios subsegmentos, y sabemos que esto continuará de esta forma hasta escalas ridículamente infinitas. Entonces, ¿cómo medir un fractal? ¿Qué implica el concepto de dimensión en los fractales? Vemos que en la practica, este asunto es mas molestoso. Podemos pensar en los fractales como lineas (por lo menos en el caso de el copo de Koch) con lo cual su dimension es 1. Pero sucede que estas líneas llenan un espacio amplio y basto, que haga que el concepto mismo de dimension pierda significado.Lo cual, implica un objeto que tiene una dimensión entre 1 (debido a que es topológicamente una línea) y 2, ya que el espacio que ocupa tiende al plano mientras se llena. De esta manera, la dimensión de un fractal es definida como

Dimensión Topológica + Constante Irracional = Dimensión Fractal

En el caso del copo de Koch, vemos que una escalada de tres (si ocupamos un segmento unidad) ocupa un espacio de cuatro. Esto nos da una dimension de 1,26185907.., calculado con mi calculadora de bolsillo. Aunque esto parezca increíble, y talvéz no tenga que tomarse tan en serio, mas increíble es que en algunos fractales es posible tener diferentes dimensiones ¡a diferentes escalas y en diferentes localidades del fractal! Entonces las consecuencias de que nuestro universo, oiga usted el universo donde vive, sea un universo fractal serían bastante profundas para la cosmología. Se imagina usted viviendo en un universo que tuviera cuatro coma algo de dimensión.

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